Question

求高手解答！！！

1、一个数，它既是正数，也是负数，若加上100可以得到一个完全平方数，加上167也可以得到，请用方程解答。
2、若n+m=x+z，且n的2次方加m的2次方等于x的2次方加z的2次方，求证n的2010次方加m的2010次方等于x的2010次方加z的2010次方。
3、已知x、y、m、n为自然数，x的5次方等于y的4次方，m的3次方等于n的2次方，m减x等于19，求n减y。

Answer 1

解：设a+100=b^2 a+167=c^2∴（c+b)（c-b)=67∴c+b=67，c-b=1∴c=34，b=33∴a=33^2-100=989
2.解：n+m=x+z平方，n^2+m^2+2mn=x^2+z^2+2xz，∵n^2+m^2=x^2+z^2∴nm=xz
∴（n-m)^2=(x-z)^2∴n-m=x-z或者n-m=z-x结合已知，
得 （1）n=x, m=z∴n^2010+m^2010=x^2010+z^2010
(2)n=z m=x∴n^2010+m^2010=z^2010+x^2010
3.解：

Answer 2

1、设该数为n，则有
n+100=a^2
n+167=b^2
相减得(b+a)(b-a)=67，由于67是质数，所以b+a=67,b-a=1,得b=34,a=33
n=33^2-100=989
2、利用第二数学归纳法
先证明mn=xz,这从m+n=x+z和m^2+n^2=x^2+z^2易得
假设n≤k命题成立，则n=k+1时
m^(k+1)+n^(k+1)=(m+n)(m^k+n^k)-mn[m^(k-1)+n^(k-1)]=(x+z)(x^k+z^k)-xz[x^(k-1)+z^(k-1)]
=x^(k+1)+z^(k+1)得证。
3、

Answer 3

1.（应该是可正，可负）
解：
根据题意，这个数是x，列方程：
x+167=M²
x+100=N²
其中，M和N都是整数
很容易得到：
M²-N²=67，则：
(M+N)(M-N)=67
∵67是素数，而M和N都是整数，因此，根据67=1×67，只能是：
M+N=±67
M-N=±1
或者
M+N=±1
M-N=±67
解得：
M1=34，N1=33
M2=34，N1=-33
M3=-34，N3=-33
M4=-34，N3=33
带入可得：
x=989

2.
证明：
因为：
n+m=x+z...........(1)
n²+m²=x²+z²......(2)
则：
(n+m)²=n²+m²+2mn
(x+z)²=x²+z²+2xz
很显然：
mn=xz...............(3)

(1)×(2)，则：
(n²+m²)(n+m)=(x²+z²)(x+z)
上式左边=n³+m³+mn(n+m)
上式右边=x³+z³+xz(x+z)
即：
n³+m³+mn(n+m)=x³+z³+xz(x+z)
根据(1)和(3)可知：
n³+m³=x³+z³

下面用数学归纳法证明在N的条件下也成立，其中N是任意不为零的自然数
n+m=x+z
n²+m²=x²+z²
n^N+m^N=x^N+z^N成立

1）
当N=1,2,3时，等式n^N+m^N=x^N+z^N成立；
2）假设当N≤K时（K为正整数），等式n^N+m^N=x^N+z^N成立，则：
n^K+m^K=x^K+z^K
当N=K+1时：
(n^K+m^K)(n+m)=(x^K+z^K)(x+z)
上式左边=n^(K+1)+m^(K+1)+mn[n^(K-1)+m^(K-1)]
上式右边=x^(K+1)+z^(K+1)+xz[x^(K-1)+z^(K-1)]
显然，根据假设n^(K-1)+m^(K-1)=x^(K-1)+z^(K-1)是成立的，
于是：
n^(K+1)+m^(K+1)=x^(K+1)+z^(K+1)
因此，当N=K+1时，原等式也成立，
即在正整数范围内，总有：
n^N+m^N=x^N+z^N成立

当N=2010时，原等式自然成立

3.
x^5=y^4

m³=n²
m-x=19
思路，和1一样，寻求素数的方式来“凑形”

解：
由题意可得：
(y/x)^4=x，因此x是自然数，因此，y/x可以整除，令y/x=a，a是自然数
同理：
(n/m)²=m，n/m是可以整除，令n/m=b，b是自然数
因此：x=a^4
m=b²
而：
m-x=b²-a^4=(b+a²)(b-a²)=19
19是素数，只能是19=1×19
于是：
b+a²=1
b-a²=19
或者
b+a²=19
b-a²=1
得：
b=10,a=3

x=3^4=81
m=100

n=1000
y=243

n-y=757

Answer 4

低手
逸过.....