Question

高一数学，急

设函数y=f(x)是定义在R+上的函
数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y), f( 1/
3)=1.当x＞1时，f（x）＜0(1)求f(1)的值;(2)证明函数在R+是单调减函数(23)如果f(x)+f(9-
2x)＞-2,求x的取值范围

Answer 1

1、
f(xy)=f(x)+f(y)
令x=y=1，得：f(1)=f(1)+f(1)
可知：f(1)=0

2、
令0<x1<x2，则：x2/x1>1
因为x>1时，f(x)<0
所以：f(x2/x1)<0
x2=(x2/x1)*x1
所以，f(x2)=f[(x2/x1)*x1]=f(x2/x1)+f(x1)
得：f(x2)-f(x1)=f(x2/x1)<0
即：f(x1)>f(x2)
所以，f(x)在R+上是单调减函数。

3、
对于不等式f(x)+f(9-2x)>-2
首先要考虑定义域的限制：
x>0，9-2x>0
得：0<x<9/2
f(xy)=f(x)+f(y)，f(1/3)=1，f(1)=0
令x=1/3，y=3，得：f(1)=f(1/3)+f(3)，得：f(3)=-1
令x=y=3得：f(9)=f(3)+f(3)=-2
所以，不等式f(x)+f(9-2x)>-2可化为：
f[x(9-2x)]>f(9)
即：f(-2x²+9x)>f(9)
由（2）知f(x)在R+上递减
所以：-2x²+9x<9
2x²-9x+9>0
(2x-3)(x-3)>0
得：x<3/2或x>3
又定义域要求：0<x<9/2
所以，0<x<3/2或3<x<9/2
即x的取值范围是x∈(0,3/2)U(3,9/2)

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请追问，祝学习进步！O(∩_∩)O

Answer 2

设函数y=f(x)是定义在R+上的函数,并且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/3)=1.当x>1时,f(x)<0
(1)求f(1)的值;
(2)证明函数在R+是单调减函数
(3)如果f(x)+f(9-2x)>-2,求x的取值范围
(1)
f(1)=f(1*1)=f(1)+f(1)
f(1)=0
(2)
xy=a
x=a/y
f(xy)=f(x)+f(y)
f(a)=f(a/y)+f(y)
f(a/y)=f(a)-f(y)
x1>x2>0
x1/x2>1
f(x1/x2)<0
f(x1/x2)=f(x1)-f(x2)
f(x1)-f(x2)<0
函数在R+是单调减函数
3
f(x) x>0 f(9-2x) 9-2x>0
0<x<9/2
f(1)-f(1/3)=-1
f(3)=f(1/(1/3)=f(1)-f(1/3)=0-1=-1
f(9)=f(3)+f(3)=-2
f(x)+f(9-2x)=f(x(9-2x))>-2
f(x(9-2x))>f(9)
x(9-2x)<9
2x²-9x+9>0
(2x-3)(x-3)>0
0<x<3/2 3<x<9/2