Question

高中数学题求解。

Answer 1

(1)由于a+b+c=1且a,b,c 属于(0,+∞)，不妨假设a≤b≤c≤1,则c≥1/3
在指数函数y=a^x,y=b^x,y=c^x中由于a<b<c<1，所以均为递减函数，且三个函数相比递减趋势呈递增趋势，所以c^c<c^b<b^b<b^a<a^a,
所以 (c^a)*(c^b)*(c^a)>(c^a)*(c^b)*(c^a)=c^(a+b+c)=c^1≥1/3，
所以alog3 a +blog3 b+ clog3 c=log3 (a^a*b^b*c^c)≥log3 1/3= -1
(2)同理，a1+a2+a3+......+a3^n,a1,a2,a3..... 属于(0,+∞)，不妨假设a1≤a2≤a3≤......≤a3^n,则a3^n≥1/3^n,
同上推理得
(a 3^n)^ (a 3^n) * (a 3^n)^ (a 3^n-1) *...... (a 3^n)^ a1 = (a 3^n)^(a1+a2+a3+......+3^n)
=(a 3^n)^1≥1/n，
所以a1 log3 a1 +a2 log3 a2+ a3 log a3 +......+a 3^n log a 3^n
=log3 (a 3^n)^(a1+a2+a3+......+3^n) ≥log3 1/n= -n

追问

三个函数相比递减趋势呈递增趋势这个怎么理解的？

还有这个式子是怎么得到的呀？c^c(c^a)*(c^b)*(c^a)=c^(a+b+c)=c^1≥1/3，这个式子是不是有问题，貌似前面那个大于号应该改成等号吧？

？

追答

答复：（1）三个函数相比递减趋势呈递增趋势这个怎么理解的？

      如图所示，y=a^x,y=b^x,y=c^x 都是递减函数，但它们的递减的速度y=a^x最小,

y=c^x最大。图中已标出了以c^c,c^b,c^a,b^b,a^a的高低与大小。

 

        

 

（2）不好意思，当时复制时有误，正确如下：

由于a+b+c=1且a,b,c 属于(0,+∞)，不妨假设a≤b≤c≤1,则c≥1/3
在指数函数y=a^x,y=b^x,y=c^x中由于a≤b≤c≤1,，所以均为递减函数，且三个函数相比递减趋势呈递增趋势，所以c^c≤c^b≤b^b≤b^a≤a^a,
所以 (a^a)*(b^b)*(c^c) ≥(c^a)*(c^b)*(c^c)=c^(a+b+c)=c^1≥1/3，
所以alog3 a +blog3 b+ clog3c=log3 (a^a*b^b*c^c) ≥ log3 （1/3）= -1

Answer 2

　　用琴生不等式
对于函数f(x)=xlog3x
f'(x)=log3x+x*1/(xln3)=log3x+1/ln3
f''(x)=1/(xln3)>0
（1） 左边=f(a)+f(b)+f(c)>=3f((a+b+c)/3)=3*1/3log3(1/3)=-1
（2） 左边=f(a[1])+f(a[2])+...+f(a[3^n])>=3^nf((a[1]+a[2]+...+a[3^n])/3^n)
　　=3^n*1/3^n*log3(1/3^n)=-n

追问

呃。没学导数呢。。。还有琴生不等式是什么？太高级了吧

追答

琴生不等式研究的函数的凹凸性问题
http://baike.baidu.com/view/1427148.htm?fr=aladdin

追问

还有没学导数呢。

Answer 3

这题有意思