Question

请教一道初中数学试题，急!!!

如图，在平面直角坐标系中，点A（-6，0）、点C（0，4），四边形OABC是矩形，以点O为圆心的⊙O过点D（根号3，0），点P从点O出发，沿O-C-B-A以1厘米/秒的速度运动，直线l为AP的垂直平分线，垂足为E，设运动时间为t秒。请你探究：如图，当点P在CB边上，直线l与⊙O相切时t的值。
纠正：题中点A坐标应为（6，0）。请给出详细解题思路或过程，要求有最后答案。谢谢！

Answer 1

解：当点P在CB边上，直线l与⊙O相切时点P的坐标为P(t-4,4),t∈[4,10].
直线AP的斜率k(AP)=(4-0)/(t-4-6)=4/(t-10),
线段AP的中点E坐标为((t-4+6)/2,(4+0)/2)，即E(t/2+1,2).
线段AP的垂直平分线l的斜率k(l)=-1/k(AP)=(10-t)/4,

线段AP的垂直平分线l为：y-y(E)=k(l)(x-x(E))即y-2=(10-t)(x-t/2-1)/4,整理得

(20-2t)x-8y+t^2-4t-2=0........(*)

因为直线l与⊙O相切,所以圆心O到直线l的距离d=r，
即d=|t^2-4t-2|/√[(20-2t)^2+(-8)^2]=√3，
所以(t^2-4t-2)^2=3[(20-2t)^2+(-8)^2],令t-2=m，
(m^2-6)^2=12(m-8)^2+192,m^4-12m^2+36=12m^2-192m+12*64+192,
m^4-24m^2+192m-12*77=0,

解得m≈4.85967804334654
所以t=m+2≈6.85967804334654.

追问

仿似解错了，t应该是比较接近于10吧？

追答

谢谢，确实有一步化简错了！修正后如下，并已检验。

解：当点P在CB边上，直线l与⊙O相切时点P的坐标为P(t-4,4),t∈[4,10].
直线AP的斜率k(AP)=(4-0)/(t-4-6)=4/(t-10),
线段AP的中点E坐标为((t-4+6)/2,(4+0)/2)，即E(t/2+1,2).
线段AP的垂直平分线l的斜率k(l)=-1/k(AP)=(10-t)/4,
线段AP的垂直平分线l为：y-y(E)=k(l)(x-x(E))即y-2=(10-t)(x-t/2-1)/4,整理得
(20-2t)x-8y+t^2-8t-4=0，
令t-4=m，则(12-2m)x-8y+m^2-20=0........(*)
因为直线l与⊙O相切,所以圆心O到直线l的距离d=r，
即d=|m^2-20|/√[(12-2m)^2+(-8)^2]=√3，
所以m^4-52m^2+144m-224=0,
解得m≈5.81983291503325
所以t=m+4≈9.81983291503325.

再次感谢！

Answer 2

解：当点P在CB边上，直线l与⊙O相切时点P的坐标为P(t-4,4),t∈[4,10]，圆的半径为√3
当B,P重合时，AP斜率不存在，此时AP的垂直平分线l为 y=2＞√3 圆与直线相离
当B,P不重合时，AP斜率存在，设为k(k≠0)，则 k=4/(t-10)，AP中点为(t/2+1,2)
此时AP的垂直平分线l斜率为(10-t)/4，且过AP中点，方程为 (t-10)x+4y=t²/2-4t-2
直线l与⊙O相切，则 圆心O到直线l的距离等于√3，即 |t²/2-4t-2|/√[(t-10)²+4²]=√3

Answer 3

先求出点P在CB线运动时，时间t的范围：[4,10]
在圆O与Y轴相交的点定为F，
很容易知道：
Rt三角形OQF相似于Rt三角形ABP
因为两个直角相等，角QFO=角BPA，剩余的一个角也相等了，因为是直角三角形（HL定理）
相似三角形有对应边成比例列方程得：

追问

能回答得完整些吗？Rt三角形OQF相似于Rt三角形ABP就能解出本题？不能吧？

Answer 4

写个大概思路。
设直线l与⊙O相切切点为F，直线l与OC交点为G
容易看出三角形OFG与PBA还有AER相似
PB=10-t，AB=4，OF=根号3
然后利用相似比例求出OG关于t的表达式，
然后CG，CP关于t的表达式
然后是三角形PEG和AEG全等，AG=PG (1)
用三角形的勾股定理：
AG^2=OG^2+OA^2 (2)
PG^2=CG^2+CP^2 (3)
把2,3代入1式得到关于t的方程，可以求出t

追问

要解一元高次方程，很麻烦啊！有简单方法吗？

Answer 5

这个题是解方程啊。。给你提供下思路，4<t<10,把EQ的方程式求出来，此方程式的两个根就是t的值。目测应该是两个值。

追问

能给出完整解答吗？