Question

圆的计算题

如图，三个同样大小的钢珠紧紧卡在一个等边三角形工件内，若等边三角形边长为6cm，求钢珠的半径。

Answer 1

设钢珠的半径为xcm
因为AB与圆O1相切于点M
所以AM⊥O1M
因为AB、AC与圆O1相切
所以AO1平分角BAC
所以角O1AM=30度
因为O1M=x
所以AM=√3x
同理BN=√3x
因为AB切圆O1于M，切圆O2于点N
所以MN=O1O2=2x
所以AB=AM+MN+NB=√3x+2x+√3x=6
解得x=3/(√3+1)=3(√3-1)/2
即钢珠的半径为 3(√3-1)/2 cm

Answer 2

设钢珠的半径为R，则有以O1.O2.O3为顶点的三角形是边长为2R的等边三角形，其
高=√3R
等边三角形O1O2O3的三个顶点到等边三角形ABC的三个顶点距离=O1A=O2B=O3C=2R
等边三角形O1O2O3的三个顶点到等边三角形ABC的三条边距离=O1M=O2N=R
等边三角形ABC的高=3√3cm
根据图示有R+√3R+2R=3√3cm
所以R=3（√3-1）/2cm≈1.098cm
钢珠的半径为3（√3-1）/2cm(或1.098cm）

Answer 3

r/(3-r)=tan30；所以r=3/(1+√3)=3(√3-1)/2