Question

已知函数f(x)=ax+1+lnx/x，a属于R，若f(x)在定义域上单调递增，求实数a的取值范围

Answer 1

f（x）的定义域上单调递增，即f'（x）≥0对于定义域中的x都成立，再利用参数分离和恒成立思想，将问题转化为求函数

lnx−1/x^2 的最大值．

解：（Ⅰ）f′(x)＝a+(1−lnx) /x^2 ＝(ax^2−lnx+1 )/x2 ，
∴f'（x）≥0，∀x＞0，∴ax2-lnx+1≥0，∀x＞0，
∴a≥lnx−1/x2

令h（x）=lnx−1/x^2
，则h'（x）=[1/x ^x2−2x(lnx−1)] /x^4 ＝(3−2lnx) /x3 ＝0有根：x0＝e3/2 ，
当x∈（0，x0），h'（x）＞0，函数h（x）单增；
当x∈（x0，+∞），h'（x）＜0，函数h（x）单减
∴a≥(h(x))max＝h(x0)＝1/2e^3

追问

若函数g（x)=xf(x)有唯一一个零点，试求实数a的取值范围

追答

（Ⅱ）由题g（x）=xf（x）=ax2+x+lnx=0，即a＝(−x−lnx)/x2 有唯一正实数根；
令φ（x）=(−x−lnx)/x2
，即函数y=a与函数y=φ（x）有唯一交点；
φ′（x）=(−1−1/x)x2−(−x−lnx)2x ＝(x−1+2lnx)/x3 ；

再令R（x）=x-1+2lnx，R'（x）=1+2/x ＞0，∀x＞0，且易得R（1）=0，
故当x∈（0，1）时，R（x）＜0，φ′（x）＜0，函数φ（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，R（x）＞0，φ′（x）＞0，函数φ（x）单调递增；
即φ（x）≥φ（1）=-1

又当x→0时，φ（x）→+∞，
而当x→+∞时，φ（x）→0且φ（x）＜0，
故满足条件的实数a的取值范围为：{a|a≥0，或a=-1}．