Question

立体几何题，求两个面的夹角，条件可能不完整，可以先看图，如果缺少条件可以留言问我，谢谢

W点和M点都是对角线上中点
长方体是100X100X100
平面AWD与底面成45°角
求：平面AWD和平面AWM的夹角是多少度
如果有解答步骤就更好了，拜托了哈，我会追加悬赏的哦

Answer 1

给你步骤吧

• 过M作MP⊥AW交AW于P，连接DP

• 易知BD⊥平面AMW（因BD⊥AM，BD⊥WM），则AW⊥BD（DM）

• 易知AW⊥平面PDM（因AW⊥MP，AW⊥DM），则∠DPM为平面AWD和平面AWM的夹角

• 令正方体棱长为1。易知DM。

• 在RT⊿AMW中计算PM（等面积原理）

• 取AD中点Q，连接WQ。在等腰⊿AMW中计算WQ，然后计算PD（等面积原理）

• 在⊿PDM中，已知DM、PM、PD，可用余弦定理求得cos∠DPM

• 见图

  

   

追问

你好，步骤是很详细了，不过不是很懂还是不会算，就设正方体棱长为1，那这个角度是多少呢？帮我算下，谢谢了哦

追答

因M为正方形对角线BD与AC的交点
由DM=1/2BD=√2/2

在RT⊿AMW中
显然AM=1/2AC=√2/2（中点）
而WM=1/2FB=1/2（中位线性质）
则有AW=√3/2（勾股定理）
因1/2*AM*WM=1/2*AW*PM（面积相等）
则PM=√6/6

在等腰⊿ADW中
显然AQ=1/2AD=1/2（中点）
而AW=√3/2（见上步）
注意到WQ⊥AD（三线合一）
则有WQ=√2/2（勾股定理）
因1/2*AD*WQ=1/2*AW*PD（面积相等）
则PD=√6/3

在⊿PDM中
由余弦定理有cos∠DPM=1/2
即∠DPM=60°

Answer 2

建立以D为原点，DC为X轴，DA为Y轴，DH为Z轴正方向的空间直角坐标系D-xyz
则D(0,0,0)，A(0,100,0)，W(50,50,50)，M(50,50,0)
向量AD=(0,-100,0)，向量AW=(50,-50,50)，向量AM=(50,-50,0)
向量MD=(-50,-50,0)，它是面AWM的一个法向量==>|向量MD|=50√2
设向量n=(x,y,z)是面AWD的一个法向量
-100y=0
50x-50y+50z=0
令x=1，则y=0，z=-1
∴向量n=(1,0,-1)==>|向量n|=√2
向量n*向量MD=-50
Cos<向量n,向量MD >=向量n*向量MD/(|向量n|*|向量MD|)=-50/100=-1/2
∴平面AWD和平面AWM的夹角是60度