Question

比较√2,3√3,4√4......n√n的大小

Answer 1

解答：
构造函数f(x)=(lnx)/x
则f'(x)=[(1/x)*x-lnx]/x²=(1-lnx)/x²
∴ x>e时，f'(x)是减函数,
∴ (ln3)/3>(ln4)/4>......
即ln(3^(1/3))>ln(4^(1/4)).......
∴ 3^(1/3)>4^(1/4).........
又∵ 2^(1/2)=4^(1/4)
∴ 3^(1/3)> 2^(1/2)=4^(1/4)>5^(1/5)>......>n^(1/n)

追问

为什么可以：构造函数f(x)=(lnx)/x

追答

看题目的形式啊，是x^(1/x)的形式，
但是直接求导数比较费事，∴ 改成ln(x^(1/x))=(lnx)/x,比较容易求导数。

Answer 2

3次根号3最大！

设一个函数为y=x^(1/x) 【x大于零】

求导得
y' = [x^(1/x)] * [x^(-2)] * [1-lnx]

令其等于零，得
x=e，约等于2.718281828459045235

又当x小于e的时候，y'大于零，是增函数。当x大于e的时候，y'小于零，是减函数。 故x=e这一点为最大值。

所以“N次根号N”的最大值只有可能出现在N为2或3的时候。

通过运算，3^(1/3)大于2^(1/2), 故“3次根号3”最大。

所以 3次根号3>4次根号4>.......>N次根号N

“根号2”等于“4次根号4”。

Answer 3

3√3＜4√4＜……n√n