Question

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60

操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN． 探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． 注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得5分． AN=NC（如图②）；②DM∥AC（如图③）． 附加题：若点M、N分别是射线AB、CA上的点，其它条件不变，再探线段BM、MN、NC之间的关系，在图④中画出图形，并说明理由． 如果第一问直接写完了那第二问怎么办？

Answer 1

延长NC至点E,使CE=BM,连结DE ∵BD=DC ∴∠CBD=∠BCD 而∠CBD+∠BCD+∠BDC=180 又∵∠BDC=120 ∴∠CBD=∠BCD=30 又∵△ABC是等边三角形 ∴∠ABC=∠ACB=60 ∴∠ABC+∠CBD=∠ACB+∠BCD=90 即∠ABD=∠ACD=90 又∵∠ACD+∠DCE=180 ∴∠DCE=∠ABD=90 用BD=CD,∠ABD=∠DCE,BM=CE 求出△BDM≌△CDE ∴∠BDM=∠CDE 又∵∠BCD=120,∠MDN=60 ∴∠NDE=∠MDN=60 用MD=ED,∠MDN=∠NDE,DN=DN 求出△MDN≌△EDN ∴MN=NE 即MN=CN+BM

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