Question

已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的

已知F1、F2是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的左右焦点,A是椭圆上位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上，且满足向量OA+向量OB=0，o为原点。向量AF2*向量F1F2=0 椭圆离心率=（根号2）/2。 1） 求直线AB的方程 2）若三角形ABF2的面积=4根号2，求椭圆的方程 3）在2）的条件下，椭圆上是否存在点M使得MAB的面积等于8根号3？若存在，求出点M的坐标若不存在 说明理由

Answer 1

解：由题意 （1） 向量OA+向量OB=0，所以A,B关于圆点对称； 向量AF2*向量F1F2=0 ，所以AF1垂直于x轴； 设A点坐标（x1，y1）则x1=c 离心率为向量为（根号2）/2，所以b=c， 故y1=（根号2）b/2，所以K(AB)=（根号2）/2 AB:y（根号2）/2*x （2）三角形ABF2的面积=4根号2， 即c*y1=4根号2，所以b=c=2√2. 所以椭圆方程：a^2/8+b^2/8=1 （3）此时A(2√2,2) B(-2√2,-2) AB长度为4√3，所以点M到直线AB的距离为4 设M坐标（2√2sinX,2√2cosX) 则有(√2/2*2√2sinX-2√2cosX)/(1+1/2)的绝对值等于4, 所以有sinX-√2*cosX=3， 而实际上，sinX-√2*cosX≤1+√2＜3，无解！！ 所以这样的M不存在！