Question

已知函数f(x)=aInx+x^2(a为常实数) ①.若a=-2,求证:函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；②.求函数f(x)在【1，e

已知函数f(x)=aInx+x^2(a为常实数) ①.若a=-2,求证:函数f(x)在(1，+∞)上是增函数；②.求函数f(x)在【1，e】上的最小值及相应的x的值 速度求解！

Answer 1

1) 定义域为x>0
a=-2, f'(x)=-2/x+2x=2(x^2-1)/x,得极值点x=1
当x>1时，f'(x)>0,所以在x>1时为增函数
2）f'(x)=a/x+2x=(2x^2+a)/x
若a>=0,则f'(x)>0,f(x)单调增，在[1,e]上最小值为f(1)=1
若a<0,则f'(x)=0,有极小值点x=√(-a/2),
若-2<a<0,则极值点不在[1,e]上，此时最小值为x=1时取得，f(1)=1
若-2e^2=<a<=-2，则极小值点在[1,e]上，最小值为f(√(-a/2))=0.5aln(-a/2)-a/2
若a<-2e^2,则在[1,e]上单调减，最小值为f(e)=a+e^2

Answer 2

1.a=-2, f(x)=x^2-2lnx,f'(x)=2x-2/x, 在x大于1时f'(x)恒大于0，所以增函数
2.还是求导,只是这次x范围变了，f'(x)=a/x+2x
分情况讨论，当a大于-2，f'(x)>0，增函数，maxf(x)=f(e)=e^2+a
当a小于等于-2，f'(x)<=0,减函数，maxf(x)=f(1)=1
PS：也可以按大于等于和小于来讨论，不影响结果，保持严谨即可