Question

∫根号下（4+x²）怎么做啊？求详细过程 ∫√（4+x²） 求详细过程 谢谢了

Answer 1

令x＝2tanu，则：
sinu＝tanu/√［1＋（tanu）^2］＝（x/2）/√［1＋（x/2）^2］＝x/√（4＋x^2），
dx＝［2/（cosu）^2］du。
∴∫√（4＋x^2）dx
＝∫［2/（cosu）^2］√［4＋4（tanu）^2］du
＝4∫［1/（cosu）^2］（1/cosu）du
＝4∫［cosu/（cosu）^4］du
＝4∫｛1/［1－（sinu）^2］^2｝d（sinu）
＝∫［1/（1＋sinu）＋1/（1－sinu）］^2d（sinu）
＝∫［1/（1＋sinu）^2］d（sinu）＋2∫｛1/［（1－sinu）（1－sinu）］｝d（sinu）
　＋∫［1/（1－sinu）^2］d（sinu）
＝－1/（1＋sinu）＋1/（1－sinu）＋∫［1/（1－sinu）＋1/（1＋sinu）］d（sinu）
＝1/［1－x/√（4＋x^2）］－1/［1＋x/√（4＋x^2）］－ln（1－sinu）＋ln（1＋sinu）＋C
＝√（4＋x^2）/［√（4＋x^2）－x］－√（4＋x^2）/［√（4＋x^2＋x］
　－ln［1－x/√（4＋x^2）］＋ln［1＋x/√（4＋x^2）］＋C
＝√（4＋x^2）［√（4＋x^2＋x－√（4＋x^2）＋x］/［（4＋x^2）－x^2］
　－ln［√（4＋x^2）－x］＋ln［√（4＋x^2）＋x］＋C
＝（1/2）x√（4＋x^2）＋ln｛［√（4＋x^2）＋x］^2/［（4＋x^2）－x^2］｝＋C
＝（1/2）x√（4＋x^2）＋2ln［x＋√（4＋x^2）］＋C。

追问

谢谢你百忙之中的回答 但是好麻烦 结果还有点错误 我看参考书上的答案是
2arcsin（2/x）+x*√(4+x²)+c
所以最佳就不给你了 但是还是谢谢你的回答 给了我新思路

追答

我的答案是正确的！你进行逆运算便知。

追问

谢谢啊
我在算算啊

Answer 2

换元法
令x=2tant,dx=2sec^2tdt
代入即可

追问

算到sec^3tdt又不会了,继续要怎么做啊？

追答

∫sec^3tdt

=∫sectdtant
=secttant-∫tantdsect
=secttant-∫tan^2tsectdt
=secttant-∫(sec^2t-1)sectdt
=secttant-∫sec^3tdt+∫sectdt
移项得
∫sec^3tdt

=1/2[secttant+∫sectdt]
接下来会积了吧