Question

用数列极限的定义证明lim n^(1/n)=1

lim n^(1/n)=1
（n→+oo）

Answer 1

因为(n)^1/n>1，令(n)^1/n=1+b，

则n=〖(1+b)〗^n=1+nb+[n(n-1)/2]b^2+…(二项式展开)
所以当n>3时，
n>1+[n(n-1)/2]b^2，从而可得b<(2/n)^(1/2)
又|(n)^1/n-1|=|1+b-1|=b<(2/n)^(1/2)
令(2/n)^(1/2)<ε,得到n>2/(ε^2 )
令N=max{[2/(ε^2) ]+1,3}则，对于任意的ε，总存在N=max{[2/(ε^2) ]+1,3}，
使得当n→+∞时，|(n)^1/n-1|<ε.
得证。

Answer 2

e^(1/n)ln(n),罗比达法则，(1/n)ln(n)=0