Question

∫∫∫e^z/√(x^2+y^2)dxdy,其中Σ是z=√(x^2+y^2）在1<=z<=2的那一部分下侧.

高斯公式怎么解？

Answer 1

被积函数是 e^z /√(x^2+y^2)
Gauss 公式， 三重积分用截面法 Ω: 1≤ z ≤ 2, x^2+y^2 ≤ z^2
I = ∫∫∫ e^z / √(x^2+y^2) dxdydz
= ∫ e^z dz ∫∫ 1/√(x^2+y^2) dxdy
= ∫ 2π z e^z dz
= 2π [ (z-1)e^z |(z=2) - (z-1)e^z |(z=1) ]
= 2π e^2

Answer 2

换元法
x=rcosa x^2+y^2≤1 所以0<=r<=1 0<=a<=2π
y=rcosa
∫ ∫D e^(x^2+y^2) dxdy
∫[0,2π] ∫[0,1] e^(r^2) rdrda
=2π*1/2∫[0,1] e^(r^2) d(r^2)
=π*e^(r^2) [0,1]
= π(e-1)