Question

已知,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D是AB上一点,且BD:AD=1:3,以C为圆心的圆C经过点D，求证AB是圆

已知,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D是AB上一点,且BD:AD=1:3,以C为圆心的圆C经过点D，求证AB是圆C的切线

Answer 1

证明：设AD长为a，则BD长为3a，斜边AB长=a＋3a=4a
在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴∠A所对的直角边BC=AB/2=4a/2=2a，∠B=∠C－∠A=90°－30°=60°。
∵BD/BC=a/2a=1/2，BC/AB=2a/4a=1/2，
∴BD/BC=BC/AB=1/2
又∵∠B=∠B=60°（公共角），
∴△BDC∽△BCA（相似），
∴∠BDC=∠C=90°，
∴AB⊥CD，
∵CD是圆C的半径，
∴AB是圆C的切线。

Answer 2

做AB的中点E，连接CD和CE，因为∠C=90°,∠A=30°则,∠B=60°。BE=AE=BC，BD:AD=1:3，则BD=DE，CD为等边三角形BE的高，CD⊥AB，圆C过AB上的D点，则AB是圆C的切线。

Answer 3

设BD=X，则AB=4X，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，∴BC=2X，
∴BD/BC=1/2=BC/AB，∵∠B=∠B，
∴ΔBDC∽ΔBCA，
∴∠BDC=∠BCA=90°，
即CD⊥AB，又CD为半径，
∴AB为⊙C的切线。

Answer 4

在直角△ABC中
∠A=30°
AB=2BC
BD:AD=1:3
AB=4BD
BC=2BC
在△ABC和△CBD中
∠B=∠B
AB/BC=BC/BD
△ABC∽△CBD
∠BDC=∠C=90°
CD垂直AB
CD为切线