Question

求所有质数p 使得｛2^（p-1）-1｝/p是一个完全平方数。过程 谢谢

Answer 1

先考虑对哪些正整数n, 2^n-1或2^n+1是完全平方数.
(1) 对于前者, n = 1时, 2^n-1 = 1是完全平方数.
n ≥ 2时, 2^n-1 ≡ 3 (mod 4), 因此不可能是完全平方数.
(2) 对于后者, 设有正整数x满足x^2 = 2^n+1, 则2^n = x^2-1 = (x+1)(x-1).
因为x+1与x-1中至少有一个不被4整除, 所以另一个必须被2^(n-1)整除.
由此可得x ≥ 2^(n-1)-1, 2^n = x^2-1 ≥ (2^(n-1)-2)·2^(n-1).
化简得2^(n-1) ≤ 4, 因此n ≤ 3.
对n = 1, 2, 3分别验证知, 只有n = 3时2^n+1 = 9为完全平方数.

回到原题.
对质数p > 2, 可设p = 2k+1, k为正整数.
于是(2^(p-1)-1)/p = (2^(2k)-1)/p = (2^k-1)(2^k+1)/p.
注意有(2^k-1,2^k+1) = (2^k-1,2) = 1, 即2^k+1与2^k-1互质.
质数p | (2^k-1)(2^k+1), 因此p整除二者之一.

(1) 若p | 2^k-1, 即(2^k-1)/p为整数.
一方面, 2^k+1与(2^k-1)/p也是互质的,
另一方面, 二者的乘积是完全平方数.
这说明二者都是完全平方数.
已证仅当k = 3时, 2^k+1是完全平方数.
对应p = 7可验证满足要求.

(2) 若p | 2^k+1, 即(2^k+1)/p为整数.
同样由2^k-1与(2^k+1)/p互质, 且二者乘积为完全平方数,
可得二者都是完全平方数.
已证仅当k = 1时, 2^k-1是完全平方数.
对应p = 3可验证满足要求.

综上, 满足要求的质数p仅有3和7.

追问

谢谢 为什么x+1和x-1至少有一个不被4整除 另一个就一定被2^（n-1）整除？如果x+1与x-1都不被4整除呢？

追答

两个数的乘积一共含有n个质因子2,
如果其中一个含有质因子2的个数不超过1,
那另一个至少含有质因子2个数就不小于n-1.

另外, 这里成立的是(x+1)(x-1) = 2^n,
所以后面那段分析也可以改为:
x+1和x-1都必须是2的方幂.
不被4整除的2的方幂, 只能是1或2.
又x > 1, 只有x = 2或3,
检验得只有x = 3时对应n = 3.

追问

谢谢