Question

求极限, lim(x→π)sin3x/sin5x

Answer 1

当x→π时，sin3x→0且sin5x→0 即是我们所说的0/0型 我们可以用洛必达法则上下分别对x求导，得
lim(x→π)sin3x/sin5x= lim(x→π)3cos3x/5cos5x= lim(x→π)3cos(3π)/5cos(5π)=(-3)/(-5)=3/5

如果有什么疑问可以问我！谢谢

追问

谢谢您的回答,其实主要想问的就是无穷小的代换应注意的是什么?（什么情况下可以直接运用等价无穷小代换?）像之前那为朋友讲的,为什么只有当x→0时,才能直接用无穷小代换?

追答

想用等价无穷小代换时，一般情况下必须是两者（或多者）相乘或者相除的时候，如果是按照相加或相减的形式出现，不要轻易的将其代换掉，这往往有可能改变了它无穷小的阶数！！也许可以能算出结果，但结果不一定准确。谢谢！！

追问

谢谢您的回答,比如说刚才这道题,为什么不可以一上来就用无穷小代换呢?

追答

刚才这个题是可以直接用无穷小代换的！谢谢！！

追问

不好意思,有点糊涂了,我再总结一下啊,我想问的问题是 ：假设有lim(x→a)f(x)/F(x),那么a,f(x),F(x)要满足什么样的关系才可以使用无穷小代换呢?(...「必须以乘积形式...」那一条理解）

追答

lim(x→a)f(x)/F(x) a,f(x),F(x)要满足当x→a时，f(x)→0或者F(x)→0的关系才可以使用无穷小代换

Answer 2

令a=π-x
则a趋于0
sin3x=sin(3π-3a)=-sin3a
sin5x=sin5a
所以原式=lim(-sin3a)/sin5a)
=lim(-3a/5a)
=-3/5

追问

谢谢,此类题都需要这样代换来解吗?为什么不可以一上来就用等价无穷小的代换呢?概念有点模糊,请给讲解一下,不胜感激!

追答

x趋于0，才有sinx~x
这里x趋于π
所以要想办法变成趋于0

哦，对不起，这里有个错误
令a=π-x
则a趋于0
sin3x=sin(3π-3a)=sin3a
sin5x=sin5a
所以原式=lim(sin3a)/sin5a)
=lim(3a/5a)
=3/5

追问

不好意思,您能不能再帮我解答一道题,我好方便理解一下,lim(x→0+)lntan7x/lntan2x,麻烦您了!

追答

用洛必达法则吧
上下求导