Question

设函数z=x^2yf(x^2-y^2,xy),求z/x,zy

Answer 1

z = x²y f (x²-y²，xy)
求：∂z/∂x，∂z/∂y=?
解：令：u(x,y)=x²-y²，v(x,y)=xy，w(x,y)=x²y
因此：z = w f(u, v)
∂z/∂x=∂w/∂x f(u,v)+w ∂f/∂x
=2xy f(u,v)+w [(∂f/∂u)(∂u/∂x)+(∂f/∂v)(∂v/∂x)]
=2xy f(u,v)+w [2x(∂f/∂u)+y(∂f/∂v)]
=2xy f(x²-y²，xy) + x²y (2x ∂f/∂u + y ∂f/∂v)
类似方法求取：
∂z/∂y=∂w/∂y f(u,v)+w ∂f/∂y
=x² f(u,v)+w [(∂f/∂u)(∂u/∂y)+(∂f/∂v)(∂v/∂y)]
=x² f(u,v)+w [-2y(∂f/∂u)+x(∂f/∂v)]
=x² f(x²-y²，xy) - x²y (2y ∂f/∂u - x ∂f/∂v)
如果给定：f(u,v)的具体函数表达式，求出f 对u、v的偏导数之后，将得到最终的结果。
举一例：设： f(u，v) = u+v，其余的u、v、w的表达式不变，
那么：∂z/∂x=2xy f(x²-y²，xy) + x²y (2x ∂f/∂u + y ∂f/∂v)
=2xy(x²-y²+xy)+ x²y(2x+y) //: 没做整理
∂z/∂y=x² (x²-y²+xy) - x²y (2y-x) //: 也没整理。