Question

一如图,点MN分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM﹑BN交于点q,求证:∠BQM=60°

二做完一后，
①若题中BM=CN，角bqm=60度的位置交换，得到的是否是真命题
②若将题中点MN分别移到BC,CA的延长线上，是否仍能得到∠BQM=60°
③若将题中的条件‘点MN分别在正三角形ABC的BC,CA边上’改为‘点MN分别在正方形ABCD的BC,CA边上’是否仍能得到∠BQM=60°

请你做出判断，在下列横线上填写‘是’或‘否 ’；①──；②──；③──
并对②③的判断，选择一个给出证明。

Answer 1

（1）证明：
在△ABM和△BCN中，
BM=NC
∠ABM=∠BCN
AB=BC
∴△ABM≌△BCN，
∴∠BAM=∠CBN，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠MBQ+∠ABQ=60°．

（2）①是；②是；③否．
②的证明：
在△ACM和△BAN中，
CM=AN
∠ACM=∠BAN=120°
AC=AB
∴△ACM≌△BAN，
∴∠AMC=∠BNA，
∴∠NQA=∠NBC+∠BMQ=∠NBC+∠BNA=180°-60°=120°，
∴∠BQM=60°．

③的证明：
在Rt△ABM和Rt△BCN中，
BM=CN
AB=BC
∴Rt△ABM≌Rt△BCN，
∴∠AMB=∠BNC．
又∠NBM+∠BNC=90°，
∴∠QBM+∠QMB=90°，
∴∠BQM=90°，即∠BQM≠60°．