Question

高等代数问题

设V是由几乎处处为零的无穷实数数列（即（a0，a1，a2……an……），其中只有有限多个ai不为零）组成的实向量空间，R（x）是所有实系数多项式组成的实向量空间。定义t如下：
t（a0，a1，a2……an……）=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n，
其中an不等于0而as=0，s>n。求证：t是线性同构

Answer 1

假设a=（a0，a1，a2……an……），b=(b0，b1，b2……bm……)属于无穷实数数列组成的实向量空间A，其中an不=0,as=0(s>n),bm不=0,bk=0(k>m)且t(a)=t(b),则a0+a1x+a2x^2+……+anx^n=b0+b1x+b2x^2+……+bmx^m，不妨设l=min(m,n)=m，则ai=bi(i=0,1……l)ai=0(i=l+1,l+2……n),此时有a=（a0，a1，a2……al，0……），b=(b0，b1，b2……bl,0……)=a,即t为单射。

再者，设任意R（x）中的f(x)=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n，其中an不等于0.显然在A中有向量a=（a0，a1，a2……an，0……）使得t(a)=f(x),故t为满射。综上t为双射。
设a=（a0，a1，a2……an……），b=(b0，b1，b2……bm……)其余定义同上t(a+b)=(a0+b0)+(a1+b1)x……+(al+bl)x^l+al+1x^l+1+……anx^n=a0+a1x+a2x^2+……+anx^n+b0+b1x+b2x^2+……+bmx^m=t(a)+t(b)，同样的有t(ka)=kt(a),k为实数，即t保加法乘法，t是线性同构

Answer 2

要注意，"几乎处处为零"这个术语不应该用在这里，应该改成“最多只有有限个非零”，也就是你后面补充的讲法

证明没什么好说的，直接按照同构的定义验证双射以及保持运算就行了

Answer 3

直接验证t保持加法和数乘运算即可，显然t是个双射故同构
加法运算保持的意义是两个多项式f和g有恒等式degree(f+g)=max{degree(f)，degree(g)}