Question

如图,已知PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC

求证:(1)BC⊥平面PAB.(2)若PA=BC=1,AB=√2求直线PC与平面PAB所成角

Answer 1

(1)已知平面PAB⊥平面PBC
所以在直线PB上任取一点D，使AD垂直PB
由面面垂直定理可得直线AD⊥平面PBC（如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。）
所以AD⊥BC
又因为PA⊥平面ABC
所以PA⊥BC
故由线面垂直定理可知：
BC⊥平面PAB
(2)因为BC⊥平面PAB
由线面所成角直线PC与平面PAB所成角即∠CPB
在直角三角PAB中由勾股定理可得PB=√5，在直角三角形PBC中由勾股定理可得PC=√6
由余弦定理可得cos∠CPB = (PC² + PB² –BC²) / (2·PC·PB)=√30/6

Answer 2

（2）PA⊥平面ABC=>PA⊥AB,PA⊥AC=>三角形PAC是直角三角形
BC⊥平面PAB=>BC⊥AB=>AC=√3=>PC=2
=>PB/BC=√3=>直线PC与平面PAB所成角为30度
（1）PA⊥平面ABC=>PA⊥AB,PA⊥BC
面PBC与面PAB交于线段AB =>BA⊥BC
又PA与AB交于点A=>BC⊥平面PAB