Question

关于线性代数中向量空间的问题1

这两道题我不知从哪入手，望老师指点迷津，谢谢！！！





Answer 1

第一题的思路是证明两个向量组等价，即可以相互线性表示。
第二题，已知条件告诉的是A和B的特征值都是5和-1，相应的特征向量也给出来了，把它们写成矩阵形式AM=MD，BN=ND，M=(α1,α2)，N=(β1,β2)，D是对角矩阵diag(5,-1)。所以(M逆)AM=(N逆)BN=D，由此得到(NM逆)A(MN逆)=B，很明显的所求的P就是P=M乘以N逆

追问

第1题：答案是这样写的，开始对α1，α2，β1，β2为列向量的矩阵做初等行变换，得β1=-α1+3α2，β2=α1-α2 所以V2≤V1，这点儿我不明白，由β1和β2的表达式，怎么就看出来是V2≤V1，从哪看出来的？
然后进一步做初等行变换，最后得出α1=0.5β1+1.5β2，α2=0.5β1+0.5β2，所以V1≤V2，同样的疑问，怎么看出V1≤V2的？求指教！！！谢谢！！！

追答

V2中的元素都是β1,β2的线性组合，既然β1,β2可以由α1,α2线性表示，那么V2中的元素自然也就是α1,α2的线性组合了，所以V2的元素都是V1的元素，V2包含于V1。
同理，V1包含于V2。

追问

第2题，我还没学到特征值这章，这是“向量空间”那章的一道题，前面的知识只学过“行列式”和“矩阵”这两章，如果只用这三章的知识点来解答这道题的话，该怎么解答？求指点！！！谢谢！！！

追答

去掉特征值与特征向量这两个名词就是了，还是找M与N，上面已经说的很清楚了