Question

如图8,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=-x^2+4x+5的图像交x轴于点A、B，交y轴于点C，顶点为P，

点M是x轴上的动点。
（1）求MA+MB的最小值
（2）求MP-MC的最大值
（3）当M在x轴的正半轴（不包含坐标原点）上运动时，以CP、CM为邻边作平行四边形PCMD。PCMD能否为矩形？若能，求M点的坐标；若不能，简要说明理由。

Answer 1

解：（1）-x2+4x+5=0，

得x1=-1，x2=5，

所以A（5，0），B（-1，0），

MA+MB的最小值为AB（或MA+MB≥AB），

即MA+MB的最小值为：MA+MB=AB=6；

（2）由y=-x2+4x+5，

x=0时，y=5，

即C（0，5），

y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，

故P（2，9），

作PD⊥y轴，垂足为D，

则PD=2，CD=9-5=4，

∵只有M，CP在一条直线上时，MP-MC的值最大为PC，

∴MP-MC的最大值为：PC=PD2+CD2=25；

（3）若PCMD为矩形，

即∠PCM=90°，

则∠DCP+∠MCO=90°，∵∠DCP+∠DPC=90°，

∴∠CMO=∠DCP，

∵∠COM=∠PDC=90°，

∴△PCD∽△CMO，

PDCD=COMO，

24=5MO，

解得MO=10，

即存在点M（10，0），能使PCMD为矩形．

点评：此题主要考查了二次函数的综合应用、矩形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，根据图象得出MP-MC的最大值为PC是解题关键．

Answer 2

解：∵y=-x^2+4x+5
=-(x-2)^2+9
∴顶点P坐标为(2，9)，A、B点坐标分别为（5，0）、（-1，0），C点坐标为（0,5）；
设M点坐标为（m，0)；
则MA=5-m
MB=m-(-1)
=m+1
∴MA+MB=5-m+m+1
=6
MP=√(m-2)^2+(-9)^2
=√(m-2)^2+81
CM=√m^2+(-5)^2
=√m^2+25
∴MP-CM=√[(m-2)^2+81]-√(m^2+25)
∵-1≤m≤5
∴当m=-1时，MP-CM=3√10-√26
当m=0时，MP-CM=-5+√85
当m=5时，MP-CM=3√10-5√2
∴当m=-1时，MP-CM最大且=4.3878
肯定存在M点使得PCDM能为矩形。
∵直线CP的斜率Kcp=(9-5)/2
=2
∴直线CM的斜率Kcm=-1/Kcp
=-1/2
又直线CM过C点，
∴直线CM的方程为：y=(-1/2)x+5
∴0=(-1/2)m+5
m=10
∴M点坐标为（10，0）。

Answer 3

二次函数y=-x^2+4x+5，所以A（5,0）；B（-1,0），P（2,9），C（0,5）。

MA+MB出现最小值时，则M为线段|BA|的中点。就是说有向线段MA为正数，MB为负数，它们的代数和为0.所以点M必须在M（2,0）处。

设直线PC交x轴于点M，则M即为所求。此时，三角形MPC在同一条直线上。若不然，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边啦。
P与C都是固定的点，我们可以过C做直线PC的垂线，交x轴于点M。过P做直线CM的平行线交抛物线于点N。以计算就知道啦。