Question

求提示【隐函数的求导】

【1】求下列方程所确定的dy/dx
[1] y^2-2xy+9=0 [2] x^3+y^3-3axy=0
[3]xy=e^[x+y] [4]y=1-xe^y

[2]2阶导数
【1】x=θ[1-sinθ] y=θcosθ
[2]x=t^2 y=e^t
[3]x=acost y=bsint

[4]求曲线x^[2/3]+y^[2/3]=a^[2/3]在【√2/4a √2/4a]处切线和法线...........
法线方程和切线方程 ，，，，过程用不着详细。。。。。。给提示
多谢，，偶想不起来了。。。。

Answer 1

求隐函数的导数，我觉得书上的公式没啥用，直接把y看成x是函数，即y=y(x)，因此像y^3之类的东西都可以看成x的复合函数，利用复合函数求导法则在等式两边同时对x求导数即可。例如第1题，两边对x求导数得2yy'-2y-2xy'=0，y'=y/(y-x)。
求参数方程x=f(t),y=g(t)的二阶导数，书上有公式d^2y/dx^2=[g''(t)f'(t)-g'(t)f''(t)]/[f‘(t)]^3。例如第2题f'(x)=2t，f''(t)=2，g'(t)=g''(t)=e^t，因此d^2y/dx^2=(2te^t-2e^t)/8t^3=e^t*(t-1)/4t^3。
求切线和法线，求出曲线在该点的导数即可，导数表示该点处曲线切线的斜率，法线与切线垂直，带人直线的点斜式方程即可。

Answer 2

【1】求下列方程所确定的dy/dx
[1] y^2-2xy+9=0
2ydy-2ydx-2xdy=0
(y-x)dy=ydx
dy/dx=y/(y-x)
[2] x^3+y^3-3axy=0
3x^2dx+3y^2dy-3aydx-3axdy=0
(3y^2-ax)dy=(ay-x^2)dx
dy/dx=(ay-x^)/(3y^2-ax)
[3]xy=e^[x+y]
ydx+xdy=e^(x+y) *(dx+dy)
[x-e^(x+y)]dy=[e^(x+y)-y]dx
dy/dx=[e^(x+y)-y]/ [x-e^(x+y)]
[4]y=1-xe^y

dy=-e^ydx-xe^ydy
dy/dx= -e^y/(1+xe^y)

[2]2阶导数
【1】x=θ[1-sinθ] y=θcosθ
dx=(1-sinθ)dθ-θcosθdθ=(1-sinθ-θcosθ)dθ
dy=cosθdθ-θsinθdθ=(cosθ-θsinθ)dθ
[2]x=t^2 y=e^t
dx=2tdt dy=e^tdt
dy/dx=e^t/2t=y/(2√x)
d(dy/dx)/dx=[y'√x-1/2yx^(-1/2)]/2x
y‘=dy/dx 代入
[3]x=acost y=bsint

dx=-asintdt dy=bcost dt
dy/dx=asint/(bcost)=ya^2/(xb^2)
d(dy/dx)/dx=(y'xa^2-ya^2)/(xb)^2
将ydy/dx代入上式

[4]求曲线x^[2/3]+y^[2/3]=a^[2/3]在【√2/4a √2/4a]处切线和法线
切线斜率为曲线的一阶导数
切线斜率*法线斜率= -1
2/3*x^(-1/3)+2/3*y^(-1/3)y'=0
y'=(y/x)^(1/3)
在 [√2/4a √2/4a]处的y'=[(√2/4a)/(√2/4a)]=1
切线解析式：y=x
法线解析式：y=-x+√2/2a