Question

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,a<x1<x2<b,证明在[x1,x2]上必有ξ,使得f(Ξ)=[F(X1)+F(X2)]/2

Answer 1

证：(1)当f(x1)=f(x2)时，显然当ξ=x1 或 x2 时 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2 满足题意
（2）当f(x1)不等于f(x2)时，不妨设f(x2)>f(x1),
则 f(x1)< [f(x1)+f(x2)]/2 <f(x2)
由介值定理值在（x1,x2）内存在一个ξ，使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2
综上所述，在[x1,x2]上必有ξ,使得 f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2

Answer 2

证：
∵函数f(x)在闭区间[a,b]上连续
∵a<x1<x2<b,
∴f(x)在[x1,x2]上连续，必有最大值n,最小值m,
n≤f(x1)≤m
n≤f(x2)≤m
n≤[f(x1)+f(x2)]/2≤m
由连续函数的介值定理可知，必存在ξ,∈[a,b]，使得f(ξ)=[f(x1)+f(x2)]/2成立。