Question

已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD=∠PDA=15°．求证：△PBC是正三角形．（初二）

Answer 1

B

C

D

A

P

E

解析:以AD为边在正方形ABCD外作正三角形EAD,连结EP.

①说明EA＝EP

∵∠PAD＝∠PDA＝15°,∴PA＝PD.

∵EA＝ED,∴EP垂直平分AD,EP∥AB．

∵∠EPA＝75°(为什么？).

∴∠EAP＝60°＋15°＝75°＝∠EPA,即EA＝EP

②∵EP＝EA＝AD＝AB,

∴四边形ABPE为平行四边形,BP＝AE.

同理可得CP＝DE.

∴△PBC是正三角形.

Answer 2

证明：∵正方形ABCD，
∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，
∵∠PAD=∠PDA=15°，
∴PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，
在正方形内做△DGC与△ADP全等，
∴DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，
∴∠PDG=90°-15°-15°=60°，∠DGC=180°-15°-15°=150°，
∴△PDG为等边，三角形，
∴DP=DG=PG，
∠PGC=360°-150°-60°=150°=∠DGC，
在△DGC△PGC中
，
∴△DGC≌△PGC，
∴PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，
同理PB=AB=DC=PC，
∠PCB=90°-15°-15°=60°，
∴△PBC是正三角形．

Answer 3

用反证法就可以做，
设△PBC不是正三角形
不妨设PB，PC小于正方形边长
则有：角BPC大于60
所以角APB小于1/2(360-60-150)
也就是角APB小于75
但又因为PB，PC小于正方形边长
所以AB大于PB
所以角APB大于角BAP
也就是角APB大于75
与上面矛盾
所以假设不成立，△PBC是正三角形．
当PB，PC大于正方形边长时同理