Question

已知抛物线C：y 2 =4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．（Ⅰ） 若 |AB|= 16 3 ，求直线l

已知抛物线C：y 2 =4x的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A、B．（Ⅰ） 若 |AB|= 16 3 ，求直线l的方程．（Ⅱ） 求|AB|的最小值．

Answer 1

解法一：（1）设直线l的方程为：x+my-1=0， 代入y 2 =4x，整理得，y 2 +4my-4=0 设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 则y 1 ，y 2 是上述关于y的方程的两个不同实根，所以y 1 +y 2 =-4m 根据抛物线的定义知： |AB|=x 1 +x 2 +2= (1-m y 1 )+(1-m y 2 )+2=4( m 2 +1) 若 |AB|= 16 3 ，则 4( m 2 +1)= 16 3 ，m=± 3 3 即直线l有两条，其方程分别为： x+ 3 3 y-1=0，x- 3 3 y-1=0 （2）由（1）知，|AB|=4（m 2 +1）≥4， 当且仅当m=0时，|AB|有最小值4． 解法二：（1）由抛物线的焦点弦长公式|AB|= 2P sin 2 θ （θ为AB的倾斜角）， 知sinθ=± 3 2 ， 即直线AB的斜率k=tanθ=± 3 ， 故所求直线方程为： x+ 3 3 y-1=0 或 x- 3 3 y-1=0 ． （2）由（1）知|AB|= 2P sin 2 θ = 4 sin 2 θ ， ∴|AB| min =4 （此时sinθ=1，θ=90°） 故|AB|有最小值4．