Question

椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直

椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q． （Ⅰ）当|CD|= 时，求直线l的方程；（Ⅱ）当点P异于A、B两点时，求证： 为定值．

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Answer 1

（Ⅰ）y= x+1（Ⅱ）见解析

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），焦点F（0，1），可知椭圆的焦点在y轴上，b=1，c=1，，可以求得椭圆的方程，联立直线和椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理和弦长公式可求出直线l的方程； （Ⅱ）根据过其焦点F（0，1）的直线l的方程可求出点P的坐标，该直线与椭圆交于C、D两点，和直线AC与直线BD交于点Q，求出直线AC与直线BD的方程，解该方程组即可求得点Q的坐标，代入 即可证明结论． （Ⅰ）∵椭圆的焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为 （a＞b＞0）， 由已知得b=1，c=1，所以a= ， 椭圆的方程为 ， 当直线l与x轴垂直时与题意不符， 设直线l的方程为y=kx+1，C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ）， 将直线l的方程代入椭圆的方程化简得（k 2 +2）x 2 +2kx﹣1=0， 则x 1 +x 2 =﹣ ，x 1 ?x 2 =﹣ ， ∴|CD|= = = = ， 解得k= ． ∴直线l的方程为y= x+1； （Ⅱ）证明：当直线l与x轴垂直时与题意不符， 设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x 1 ，y 1 ），D（x 2 ，y 2 ）， ∴P点的坐标为（﹣ ，0）， 由（Ⅰ）知x 1 +x 2 =﹣ ，x 1 ?x 2 =﹣ ， 且直线AC的方程为y= ，且直线BD的方程为y= ， 将两直线联立，消去y得 ， ∵﹣1＜x 1 ，x 2 ＜1，∴ 与 异号， = = ， y 1 y 2 =k 2 x 1 x 2 +k（x 1 +x 2 ）+1= =﹣ ， ∴ 与y 1 y 2 异号， 与 同号， ∴ = ，解得x=﹣k， 故Q点坐标为（﹣k，y 0 ）， =（﹣ ，0）?（﹣k，y 0 ）=1， 故 为定值． 点评：此题是个难题．本题考查了椭圆的标准方程和简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．体现了分类讨论和数形结合的思想