Question

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f(?12+x)＝f(?12?x)，令g

已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）=0，对于任意x∈R都有f（x）≥x，且f(?12+x)＝f(?12?x)，令g（x）=f（x）-|λx-1|（λ＞0）．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求函数g（x）的单调区间；（3）研究函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数．

Answer 1

（1）解：∵f（0）=0，∴c=0．（1分）
∵对于任意x∈R都有f(?

1

2

+x)＝f(?

1

2

?x)，
∴函数f（x）的对称轴为x＝?

1

2

，即?

b

2a

＝?

1

2

，得a=b．（2分）
又f（x）≥x，即ax²+（b-1）x≥0对于任意x∈R都成立，
∴a＞0，且△=（b-1）²≤0．
∵（b-1）²≥0，∴b=1，a=1．
∴f（x）=x²+x．（4分）
（2）解：g（x）=f（x）-|λx-1|=

x2+(1?λ)x+1 x≥ 1 λ x2+(1+λ)x?1 x＜ 1 λ

（5分）
①当x≥

1

λ

时，函数g（x）=x²+（1-λ）x+1的对称轴为x＝

λ?1

2

，
若

λ?1

2

≤

1

λ

，即0＜λ≤2，函数g（x）在(

1

λ

，+∞)上单调递增；（6分）
若

λ?1

2

＞

1

λ

，即λ＞2，函数g（x）在(

λ?1

2

，+∞)上单调递增，在(

1

λ

，

λ?1

2

)上单调递减．
（7分）
②当x＜

1

λ

时，函数g（x）=x²+（1+λ）x-1的对称轴为x＝?

1+λ

2

＜

1

λ

，
则函数g（x）在(?

1+λ

2

，

1

λ

)上单调递增，在(?∞，?

1+λ

2

)上单调递减．（8分）
综上