Question

已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若f

已知函数f（x）=（ax2+x）ex，其中e是自然数的底数，a∈R．（1）当a＜0时，解不等式f（x）＞0；（2）若f（x）在[-1，1]上是单调增函数，求a的取值范围；（3）当a=0时，求整数k的所有值，使方程f（x）=x+2在[k，k+1]上有解．

Answer 1

（1）因为e^x＞0，所以不等式f（x）＞0，即为ax²+x＞0，
又因为a＜0，所以不等式可化为x(x+

1

a

)＜0，
所以不等式f（x）＞0的解集为(0，?

1

a

 )．（4分）
（2）f′（x）=（2ax+1）e^x+（ax²+x）e^x=[ax²+（2a+1）x+1]e^x，
①当a=0时，f′（x）=（x+1）e^x，f′（x）≥0在[-1，1]上恒成立，
当且仅当x=-1时取等号，故a=0符合要求；（6分）
②当a≠0时，令g（x）=ax²+（2a+1）x+1，
因为△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，所以g（x）=0有两个不相等的实数根x₁，x₂，不妨设x₁＞x₂，
因此f（x）有极大值又有极小值．
若a＞0，因为g（-1）?g（0）=-a＜0，所以f（x）在（-1，1）内有极值点，故f（x）在[-1，1]上不单调．（8分）
若a＜0，可知x₁＞0＞x₂，因为g（x）的图象开口向下，要使f（x）在[-1，1]上单调，
因为g（0）=1＞0，必须满足

g(1)≥0 g(?1)≥0

，即

3a+2≥0 ?a≥0

，所以?

2

3

≤a＜0．
综上可知，a的取值范围是[?

2

3

，0]．（10分）
（3）当a=0时，方程即为xe^x=x+2，由于e^x＞0，所以x=0不是方程的解，所以原方程等价于ex?

2

x

?1＝0，
令h(x)＝ex?

2

x

?1，
因为h′(x)＝ex+

2

x2

＞0对于x∈（-∞，0）∪（0，+∞）恒成立，
所以h（x）在（-∞，0）和（0，+∞）内是单调增函数，（13分）
又h（1）=e-3＜0，h（2）=e²-2＞0，h(?3)＝e?3?

1

3

＜0，h（-2）=e^-2＞0，
所以方程f（x）=x+2有且只有两个实数根，且分别在区间[1，2]和[-3，-2]上，
所以整数k的所有值为{-3，1}．（16分）