Question

在极坐标系中，已知某曲线C的极坐标方程为ρ2=44sin2θ+cos2θ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+

在极坐标系中，已知某曲线C的极坐标方程为ρ2=44sin2θ+cos2θ，直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0（Ⅰ）求该曲线C的直角坐标系方程及离心率e；（Ⅱ）已知点P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由

x=ρcosθ y=ρsinθ

知曲线C的极坐标方程为ρ2=

4

4sin2θ+cos2θ

可化为直角坐标系方程x²+4y²=4，
即

x2

4

+y2=1．
由于在椭圆方程中a=2，b=1，
∴c=

3

．
故离心率e=

c

a

=

3

2

．
（2）∵直线l的极坐标方程为ρ（cosθ+2sinθ）+6=0，
∴直线l的直角坐标系方程为x+2y+6=0．
法一：∵曲线C的参数方程为

x=2cos? y=sin?

，(?为参数），
∴可设点P的坐标为（2cos?，sin?）．
则点P到直线l的距离为d=

|2cos?+2sin?+6|

1+22

=

|2 2 sin(?+ π 4 )+6|

5

．
∴当sin(?+

π

4

)=1．
即P(

2

，

2

2

)时，dmax=

2 2 +6

5

=

2 10 +6 5

5

．
法二：设与直线l平行且与曲线C相切的直线为x+2y+λ=0．
联立

x+2y+λ=0 x2 4 +y2=1

消去y整理得2x²+2λx+λ²-4=0．
则△=4λ²-8（λ²-4）=-λ²+8，令△=0得λ=±2

2

．
当λ=2

2

时，切点P(

2

，

2

2

)到直线l的距离最大为

2 10 +6 5

5

．