Question

二重极限的计算问题

为什么有时候要令y=mx？然后变成了一元函数极限，是为了求导吗？两个变元不能求导？

Answer 1

二元函数极限存在的要求是点P(x,y)沿任一途径趋于定点P0(x0,y0)时，二元函数f(x,y)都趋于某一常数A，这和一元函数中极限存在必须满足左右极限相等的条件有点类似，只不过不一元函数极限存在的条件要更加严格。点P(x,y)沿任一途径趋于定点P0(x0,y0)反映在坐标平面上就是点P(x,y)沿任一一条xOy平面上的曲线于定点P0(x0,y0)，但实际上对于给定的一个二元函数f(x,y)，我们不可能去检验P沿所有曲线趋于P0时函数极限是否相等，但如果沿某两条直线的极限不相等，我们就能判断该函数极限不存在。而y=mx是最简单的直线，计算比较方便。例如(x,y)趋于(0,0)时f(x,y)=xy/(x^2+y^2)极限不存在，因为(x,y)沿直线y=mx趋于(0,0)时，limf(x,y)=m/(m+1)，这样当两直线斜率m不同时，极限就不相同，所以极限不存在。即使limf(x,y)=常数，也不能说明极限存在，因为沿不同于直线y=mx路径的情况我们不知道，有可能极限是不同的。因此令y=mx这种方法只能证明极限不存在，证明不了极限存在，证明极限存在需用其它方法。

Answer 2

两个变元是可以求导求极限的。在两个变元无任何关系时对一个变元求极限或导数，另一变元应视为常数；有关系时实际上是一元函数，不能视为常数。你不懂的是二元函数取导吧？二元函数导数要求x,y沿任一函数关系得到的取导结果一样，令y=mx代入只能说明它沿该线性方向的导数，即使是常数也不能说明偏导存在。因此一般是用来证明偏导不存在的方法，往往得到结果与m有关也即不是常数。

Answer 3

是这样的，如果想证明一个二重的极限不存在，常取两条路径，证极限不相等或是有一个极限不存在，y=mx是最方便算的路径之一，所以常取