Question

高数中的求极限问题

(sin2(1/x)+cos(1/x))^(x2)

为什么不能用等价无穷小替换 sin2(1/x) ~ 1/x2 ; cos(1/x)~1
然后 (1+(1/x)2)^(x2)=e?

答案是e^(1/2)

Answer 1

等价无穷小替换只能用于乘积项，不能分别用于代数和。
看起来x趋于无穷
令1/x=t,当x趋于无穷时，t趋于0
设y=(sin2(1/x)+cos(1/x))^(x2)=[sin^2(t)+cos(t)]^(1/t)^2)
lny=ln(sin^2(t)+cos(t))/(t^2) (罗比达法则）
limlny=lim(sin2t-sint)/[(sin^2(t)+cos(t))2t]
=lim(sin2t-sint)/(2t)
=lim(2cos2t-cost)/2=1/2
所以limy=e^(1/2)

Answer 2

x->+∞
cos(1/x)=1-1/(2x^2)+o(1/x^2)
sin(1/x)=1/x-1/(x^3*3!)+o(1/x^3)；sin^2(1/x)=x^2-x^4/3+o(x^4)
cos(1/x)+sin^2(1/x)=1+1/(2x^2)+o(x^2)
因为cos(1/x)中的第二项1/(2x^2)也起作用，需要计算在内

Answer 3

只有乘除的时候可以替换，加减的时候不能替换。

Answer 4

x趋向于什么