Question

设A为m×n矩阵，且r（A）=m＜n，则下列结论正确的是（　　）A．A的任意m阶子式都不等于零B．A的任意m个列

设A为m×n矩阵，且r（A）=m＜n，则下列结论正确的是（　　）A．A的任意m阶子式都不等于零B．A的任意m个列向量线性无关C．方程组AX=b一定有无数个解D．矩阵A经过初等行变换化为（Em?O）

Answer 1

因为r（A）=m＜n，且A与

.

A

都是m行，所以
r（A）=r(

.

A

)=m＜n．
利用非齐次线性方程组解的判定定理可得，
所以方程组AX=b一定有无数个解，
故选项C正确．
选取适当的反例，可以说明选项A、B、D均错误．
取A=

1 0 0 0 0 1

，则r（A）=2＜3．
由于存在A的一个子式

.

1 0 0 1

.

=0，故选项A不成立．
由于A的第1个列向量与第2列列向量线性相关，所以选项B错误．
为了使得将A化为（E_m?O），仅做初等行变换是不够的，
还必须做初等列变换，将第2列与第3列互换才可以，
故选项D也不成立．
综上，正确选项为C．
故选：C．