Question

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．（I）求f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x

选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）=|2x-1|+|x+1|．（I）求f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤a有解，求实数a的取值范围．

Answer 1

（I）f（x）＞2即|2x-1|+|x+1|＞2．（*）
当x≥

1

2

时，（*）化为2x-1+x+1＞2，解得x＞

2

3

，∴x＞

2

3

．
当x≤-1时，（*）化为-（2x-1）-（x+1）＞2，即x＜?

2

3

，∴x≤-1．
当?1＜x＜

1

2

时，化为1-2x+x+1＞2，解得x＜0，∴-1＜x＜0．
综上可知：f（x）＞2的解集是{x|x＜0或x＞

2

3

}；
（II）f（x）=

3x，x≥ 1 2 2?x，?1＜x＜ 1 2 ?3x，x≤?1

，
可知：当x≥

1

2

时，f(x)≥

3

2

；当?1＜x＜

1

2

时，

3

2

＜f(x)＜3；当x≤-1时，f（x）≥f（-1）=3．
综上可知：f(x)min＝

3

2

．
∵关于x的不等式f（x）≤a有解，∴a≥f(x)min＝

3

2

．
∴a的取值范围是[

3

2

，+∞)．