Question

设函数f(x)＝log12x+1x?1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是

设函数f(x)＝log12x+1x?1．（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；（2）证明函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；（3）若x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(12)x+m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）函数f（x）是奇函数
由

x+1

x?1

＞0得x＞1或x＜-1，又f(?x)＝log

1

2

?x+1

?x?1

＝?f(x)，∴函数f（x）是奇函数
（2）不妨设u(x)＝

x+1

x?1

，1＜x1＜x2，则u(x1)?u(x2)＝

2(x2?x1)

(x1?1)(x2?1)

，∵1＜x₁＜x₂，∴x₁-1＞0，x₂-1＞0，x₂-x₁＞0，∴u(x1)?u(x2)＝

2(x2?x1)

(x1?1)(x2?1)

＞0，∴u（x₁）＞u（x₂），
又f(x)＝log

1

2

u(x)，∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（3）由题意，x∈[3，+∞）时，不等式f(x)＞(

1

2

)x+m恒成立，等价于f(3)?(

1

2

)3＞m，解得m＜?

9

8

．