Question

如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0=3m/s的初速度水平抛出，到达C

如图所示，有一个可视为质点的质量为m=1kg的小物块，从光滑平台上的A点以v0=3m/s的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M=3kg的长木板，已知木板的上表面与圆弧的末端切线相平，木板的下表面与水平地面之间光滑接触，小木块与长木板间的动摩擦因数μ=0.3圆弧轨道的半径为R=0.5m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ=53°（sin53°=0.8，cos53°=0.6）不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2．求：（1）A、C两点的高度差；（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时受到轨道的弹力；（C---D过程满足V2D-VC2=2gh）（3）要使小物块不滑出长木板，木板的最小长度．

Answer 1

（1）根据几何关系可知：小物块在C点速度大小为：v_C=

v0

cos53°

=

3

0.6

=5m/s，
竖直分量：v_Cy=4 m/s 
下落高度：h=

vyc2

2g

＝

16

20

=0.8m  
（2）小物块由C到D的过程中，由动能定理得：
mgR（1-cos 53°）=

1

2

mvD2-

1

2

mvC2
解得：v_D=

29

m/s
小球在D点时由牛顿第二定律得：F_N-mg=m

vD2

R

代入数据解得：F_N=68N  
由牛顿第三定律得F_N′=F_N=68N，方向竖直向下
（3）设小物块刚滑到木板左端达到共同速度，大小为v，小物块在木板上滑行的过程中，小物块与长木板的加速度大小分别为：
a₁=μg=0.3×10=3m/s²，a₂=

μmg

M

=

0.3×1×10

3

=1 m/s²
速度分别为：v=v_D-a₁t，v=a₂t  
对物块和木板系统，由能量守恒定律得：
μmgL=

1

2

mv_D²-

1

2

（m+M） v² 
代入数据解得：L=3.625 m，即木板的长度至少是3.625 m
答：（1）AC两点的高度差为0.8m．
（2）小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力为68N．
（3）木板的最小长度为3.625m．