Question

如图，在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD，且A（-1，0），B（0，3），C（3，0），BD交x轴于E点．（1

如图，在平面直角坐标系中，有平行四边形ABCD，且A（-1，0），B（0，3），C（3，0），BD交x轴于E点．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若反比例函数y＝kx（k≠0）与BC交于M、N两点，且BM=MN，求k；（3）在反比例函数y＝kx（k≠0）上取一点F，使∠BFE=30°，连接AF，判断AF与BF、EF之间存在怎样的数量关系并证明．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），B（0，

3

），C（3，0），
∴AB²=1+3=4，BC²=9+3=12，AC²=16，
∴AB²+BC²=AC²，
∴∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）MG⊥y轴于G，NH⊥y轴于H，则MG∥NH，
∴GM：HN=BG：BH=BM：BN=1：2．
设点M的坐标为（a，b），由HN=2GM可知N点的横坐标为2a，
又∵M、N都在反比例函数y＝

k

x

（k≠0）的图象上，
∴N点的纵坐标为

ab

2a

=

1

2

b，即N点的坐标为（2a，

1

2

b），
∴OH=

1

2

b，OG=b，
∴GH=OH=

1

2

b，
又∵BG=GH，
∴BG=GH=OH=

1

2

b，
由OB=

3

，可得b=

2 3

3

．
同理，由OC=3，可得a=1．
∴k=ab=

2 3

3

；

（3）AF与BF、EF之间存在的数量关系是AF²=BF²+EF²．理由如下：
以EF为边构造等边三角形EFP，连接BP，AF，则△BFP为直角三角形，
则BP²=BF²+PF²，
可证△AFE≌△BPE（SAS），
得AF=BP，
从而可得AF²=BF²+EF²．