Question

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n，有2Sn＝an+1．（I）求a1，a2的值；（II）

设{an}是正数组成的数列，其前n项和为Sn，且对于所有的正整数n，有2Sn＝an+1．（I）求a1，a2的值；（II）求数列{an}的通项公式；（III）令b1=1，b2k=a2k-1+（-1）k，b2k+1=a2k+3k（k=1，2，3，…），求数列{bn}的前2n+1项和T2n+1．

Answer 1

（I）当n=1时，2

a1

＝a1+1，
∴(

a1

?1)2＝0，a₁=1
当n=2时，2

1+a2

＝a2+1，
∴

a2+1

＝2，a₂=3．
（II）∵2

Sn

＝an+1，
∴4S_n=（a_n+1）²4S_n-1=（a_n-1+1）²，相减得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正数组成的数列，
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．
（Ⅲ）T_2n+1=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）++（a_2n+3ⁿ）
=1+S_2n+（3+3²++3ⁿ）+[（-1）¹+（-1）²++（-1）ⁿ]
=1+(2n)2+

3(1?3n)

1?3

+

(?1)(1?(?1)n)

1?(?1)

=

3n+1?2+8n2+(?1)n

2

．