Question

已知定义在R上奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．（1）请补全函数f（x）的图象；（

已知定义在R上奇函数f（x）在x≥0时的图象是如图所示的抛物线的一部分．（1）请补全函数f（x）的图象；（2）写出函数f（x）的表达式（只写明结果，无需过程）；（3）讨论方程|f（x）|=a的解的个数（只写明结果，无需过程）．

Answer 1

解答：解：（1）补全f（x）的图象如图1所示：
（2）当x≥0时，设f（x）=a（x-1）²-2，由f（0）=0得，a=2，
所以此时，f（x）=2（x-1）²-2=2x²-4x．
当x＜0时，-x＞0，所以 f（-x）=2（-x）²-4（-x）=2x²+4x …①
又f（-x）=-f（x），代入①得 f（x）=-2x²-4x．
综上可得，f（x）=

2x2?4x，x≥0 ?2x2?4x，x＜0

．
（3）方程|f（x）|=a的解的个数，即函数f（x）的图象和直线y=a的交点个数，函数y=|f（x）的图象如图2所示，
由图象可得，当a＜0时，方程无解；当a=0时，方程有三个解；
当0＜a＜2时，方程有6个解； 当a=2时，方程有4个解；当a＞2时，方程有2个解．