Question

求（1+x）^1/2的幂级数展开式通项公式

Answer 1

具体如下：

(0,x) f(t)/t dt =∫(0,x) 1/(1+t^2) dt =arctanx =∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)

f(x)/x=[∑(n=0,∞) (-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) [(-1)^n * 1/(2n+1) * x^(2n+1)]' =∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n) 

因此， f(x)=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 

x/(1+x^2)=x/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-0)/(1-(-x^2)) =lim(n→∞) x(1-(-x^2)^n)/(1-(-x^2)) 

因此，直接可推：f(x)=x-x^3+x^5-……=∑(n=0,∞) (-1)^n * x^(2n+1)，x∈(-1,1) 

按一定次序排列的一列数称为数列，而将数列{an} 的第n项用一个具体式子（含有参数n）表示出来，称作该数列的通项公式。这正如函数的解析式一样，通过代入具体的n值便可求知相应an 项的值。而数列通项公式的求法，通常是由其递推公式经过若干变换得到。

Answer 2

1、本题若采用逐次求导的方法展开，将会烦不胜烦；

      若用二项式展开，就非常快捷。

2、具体解答如下，若点击放大，图片更加清晰。

追问

是不是最后结果分子还有一个 n！ ，你这样展开 分子算是1和倒数第二步对不上

打错了 是（2n-3）！！，但只乘上这个 第二项不存在

追答

为什么你觉得，是（2n-3）！！，但只乘上这个 第二项不存在？

能说说你的理由吗？
我上面的解答，你认为什么地方出错？请提供具体理由。

追问

按照你倒数第二部看， 展开应该分子是一个双阶乘 但是答案没有写出 分子是1。如果给你的答案分子加上（2n-3）！！展开，第一项是1 当n=1 双阶乘不存在 缺了x^1这一项 第二项是x^2

追答

不好意思，确实是我大意了。So sorry for my mistake.

你说得很对，分子是应该(2n-3)!! 你很仔细。

追问

但是这样 x指数为1的那项又缺了，我自己用（1+x）^-1/2的展开式积分出过（1+x）^1/2展开式 同济高数也有一个类似的，但都是1+x/2+一个通项公式 x/2不能写入通项式

追答

是的，确实写不进去。

不错，我真的献丑了，你学得很细，悟得很透。后生可畏！

追问

没有没有 都是有问题才来这里问，麻烦你再解决一个问题

追答

你核实一下求导过程:

追问

没看出哪里错了

追答

第一行最后的 ( 1 + x ) ln( 1 + x ), 写成 ln( 1 + x ) ，不妥当。

追问

我也知道 但为什么是错的

追答

分母是 x²，是高阶无穷小；
分子 x - ( 1 + x ) ln( 1 + x ) = [ x - ln( 1 + x)] - x ln( 1 + x )
其中 [ x - ln( 1 + x)] 是一个高阶无穷小，等价于 ½ x²；
x ln( 1 + x ) 也是一个高阶无穷小，等价于 x²；
两者之差，依然是一个高阶无穷小，等价于 -½ x²。
第一行最后的 ( 1 + x ) ln( 1 + x ), 写成 ln( 1 + x ) 就是遗漏了一个高阶无穷小。

这也就是平时所说的等价无穷小代换，不可以在加减时随意使用的一个实例。

追问

问过老师 他说无穷小加减不能用 但网上说 其实有些是可以的。那请问 什么情况下 无穷小替换什么时候可以加减时候用

追答

1、等价无穷小代换，用来解题，这是中国微积分的教学特色；
国际上没有像我们这样荒腔走板、走火入魔。
国际教学很冷静，很理智。

2、我们习惯于死记硬背教学法，把麦克劳琳级数提前半年多拿
到初学者面前耀武扬威，然后要求学生活剥生吞、照单全收。

3、在加减的情况下，是不是能用等价无穷小代换？
唯一的判断标准是：
A、写出极限中各函数的麦克劳琳级数；
B、仔细分析一下，有没有高阶无穷小被遗漏。
若无遗漏，则可行;若有遗漏，则不可行。

对于初学者，谈起麦克劳林级数展开，
那不是越抹越黑？教师越讲，学生越糊涂？

所以，为了稳妥起见，讲不可以，教师就可以蒙混过关了。
更糟糕的是，有些教师，教了一辈子，自己糊里糊涂一辈子，大有人在。

追问

非常感谢 ！这段时间的打扰，麻烦你解答我的问题

Answer 3

直接利用

（1+x）^α的幂级数，

详情如图所示，有任何疑惑，欢迎追问