Question

如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在长方形边上匀速运动

如图①，长方形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm，E为CD的中点．点P从A点出发，沿A-B-C的方向在长方形边上匀速运动，速度为1cm/s，运动到C点停止．设点P运动的时间为ts．（图②③为备用图）（1）当P在AB上，t为何值时，△APE的面积为长方形面积的13？（2）整个运动过程中，t为何值时，△APE为直角三角形？（3）整个运动过程中，t为何值时，△APE为等腰三角形？

Answer 1

（1）设t秒后，△APE的面积为长方形面积的

1

3

，
根据题意得：AP=t，
∴△APE的面积=

1

2

AP?AD=

1

2

t×4=

4×6

3

，
解得：t=4，
∴4秒后，△APE的面积为长方形面积的

1

3

；

（2）显然当t=3时，PE⊥AB，
∴△APE是直角三角形，
当P在BC上时，△ADE∽△ECP，
此时

CP

DE

＝

CE

AD

，
解得：CP=

9

4

，
∴PB=BC-PC=4-

9

4

=

7

4

，
∴t=6+

7

4

=

31

4

；
（3）①当P在AE垂直平分线上时，AP=EP，
过P作PQ⊥AE于Q，∵AD=4，DE=3，
∴AE=5，
∴AQ=2.5，
由△AQP∽△EDA，得：

AP

AE

＝

AQ

DE

，
即：

AP

5

＝

2.5

3

，
解得：AP=

25

6

，
∴t=

25

6

；
．
②当EA=EB时，AP=6，
∴t=6，
③当AE=AP时，
∴t=5．
∴当t=

25

6

、5、6时，△APE是等腰三角形．