Question

过点P（1，2）的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（Ⅰ）若P为AB中点时，求的方程；（Ⅱ）若|OA|+

过点P（1，2）的直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点．（Ⅰ）若P为AB中点时，求的方程；（Ⅱ）若|OA|+|OB|最小时，求△AOB的面积S．

Answer 1

（Ⅰ）设A（a，0），B（0，b），
∵P（1，2）为AB的中点，
∴A（2，0），B（0，4），
∴由截距式得

x

2

+

y

4

＝1，
即的方程为2x+y-4=0；
（Ⅱ）依题得直线l与x轴不垂直，设A（a，0），B（0，b）（a＞0，b＞0），
∴

x

a

+

y

b

＝1，
又直线l过点P（1，2），
∴

1

a

+

2

b

＝1，
∴|OA|+|OB|=a+b=（a+b）?（

1

a

+

2

b

）=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a ? 2a b

＝3+2

2

．
当且仅当

b

a

＝

2a

b

时取等号，此时a＝

2

+1，b＝2+

2

．
∴当a＝

2

+1，b＝2+

2

时，|OA|+|OB|取最小值．
∴S＝

1

2

ab＝

1

2

(

2

+1)?(2+

2

)＝

4+3 2

2

．