Question

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4

如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点左、右两侧），与y轴正半轴交于点C，OB=OC=4OA，△ABC的面积为40．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）若以抛物线上一点P为圆心的圆恰与直线BC相切于点C，求点P的坐标．

Answer 1

（1）由题意设A（-k，0），则点B、C的坐标为（4k，0）、（0，4k）、k＞0，
∴AB=5k，由S_△ABC=

1

2

×5k×4k=40，得k=2
∴A（-2，0）、B（8，0）、C（0，8）

（2）设抛物线y=a（x+2）（x-8），把（0，8）代入，
得a=-

1

2

∴y=-

1

2

（x+2）（x-8）
即y=-

1

2

x²+3x+8

（3）易得直线BC为y=-x+8
由⊙P切BC于C，知PC⊥BC，延长PC交x轴于点Q，则OQ=OC=OB=8，
故得Q（-8，0），进而，直线PQ的解析式为y=x+8
解方程组

y＝x+8 y＝ 1 2 x2+3x+8

?

x1＝0 y1＝8

，

x2＝4 y2＝12

由于点（0，8）即为点C，不合题意，舍去．
所以，满足条件的点P的坐标为（4，12）．