Question

如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，对

如图，已知在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，对称轴l与x轴相交于点C，顶点为点D，且∠ADC的正切值为12．（1）求顶点D的坐标；（2）求抛物线的表达式；（3）F点是抛物线上的一点，且位于第一象限，连接AF，若∠FAC=∠ADC，求F点的坐标．

Answer 1

（1）∵抛物线与x轴相交于A（-1，0），B（3，0）两点，
∴对称轴直线l=

?1+3

2

=1，
∵对称轴l与x轴相交于点C，
∴AC=2，
∵∠ACD=90°，tan∠ADC=

1

2

，
∴CD=4，
∵a＞0，
∴D（1，-4）；

（2）设y=a（x-h）²+k，有（1）可知h=1，k=-4，
∴y=a（x-1）²-4，
将x=-1，y=0代入上式，
得：a=1，
所以，这条抛物线的表达为y=x²-2x-3；

（3）过点F作作FH⊥x轴，垂足为点H，
设F（x，x²-2x-3），
∵∠FAC=∠ADC，
∴tan∠FAC=tan∠ADC，
∵tan∠ADC=

1

2

，
∴tan∠FAC=

FH

AH

=

1

2

，
∵FH=x²-2x-3，AH=x+1，
∴

x2?2x?3

x+1

＝

1

2

，
解得x₁=

7

2

，x₂=-1（舍），
∴F（

7

2

，

9

4

）．