Question

关于三角形的几何数学题!！！！

1、一扇形的周长为20cm,当扇形圆心角a等于孤度时,这个扇形的面积最大?并求出扇形最大地面积.

2、等腰三角形一个底角的正弦值为5/13,则这个三角形的顶角的余弦值是多少?

Answer 1

设半径为R
扇形周长 = 2R + aR = L
R = L/(2+a)

扇形面积 S = (1/2)* a * R^2 = (L^2/2) * a/(2+a)^2
= (L^2/2)* a/(a^2 + 4a + 4)
= (L^2/2) /(a + 4/a + 4)

当 a + 4/a 取最小值时， 分母取最小值，S 取最大值

a + 4/a = (√a)^2 - 2 *√a * (2/√a) + (2/√a)^2 + 2 * √a * (2/√a)
= (√a - 2/√a)^2 + 4
当 √a = 2/√a 时，上式取最小值
此时 a = 2

即当 a=2 弧度时，扇形面积最大。

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从顶点出发 做三角形的高 H。
则 顶角一半的余弦 = 底角的正弦 = 5/13

如果学过三角函数公式，那么
cosA = 2[cos(A/2)]^2 - 1 = 2 * (5/13)^2 - 1
= 50/169 - 1
= - 119/169

若没学过三角函数公式，那么
设 腰 = 13， 刚才做出的高 = 5
则底边的一半 = 根号下(13*13 - 5*5) = 12
底边长 = 24

可以利用余弦定理求
cosA = (13*13 + 13*13 - 24*24)/(2*13*13) = -119/169

如果没学过余弦定理，那么
从一个底角向对边做高。利用
三角形面积 = (1/2)*底边*（底边上的高）= （1/2）*腰*（腰上的高）
来求出腰上的高。
（以下从略）

Answer 2

1题请你重新表述一下！
2、解：1/2顶角的正弦=12/13，则顶角的正弦=2*12/13*5/13=120/169
所以余弦=-[(169^2-120^2)/169^2]开平方=-14161开平方/169