Question

求圆心在直线x+y=0上,且过两圆x^2+y^2-2x+10y-24=0,x^2+y^2+2x+2y-8=0交点的圆的方程？要过程！

Answer 1

两种解法：
（一）
所求圆过x^2+y^2+2x+2y-8=0及x^2+y^2-2x+10y-24=0交点，则圆方程为
(x^2+y^2+2x+2y-8)+a(x^2+y^2-2x+10y-24)=0
(1+a)x^2+(1+a)y^2+2(1-a)x+2(1+5a)y-8-24a=0，两边除以1+a
x^2+y^2+2[(1-a)/(1+a)]x+2[(1+5a)/(1+a)]y-[(8+24a)/(1+a)]=0
(x+(1-a)/(1+a))^2+(y+(1+5a)/(1+a))^2=r^2（r表示半径，具体多少无关紧要）
此圆圆心在点(-(1-a)/(1+a), -(1+5a)/(1+a))，这个点在x=-y直线上，所以
-(1-a)/(1+a)=(1+5a)/(1+a)，即a=-0.5
带入圆一般方程0.5x^2+0.5y^2+3x-3y-8+12=0，即x^2+y^2+6x-6y+8=0
（二）
圆x2+y2+2x+2y-8=0的圆心在点(-1,-1)，圆x2+y2-2x+10y-24=0的圆心在点(1,-5)
连接两圆心并延长，可得直线y+2x=-3，圆心线垂直平分公共弦，此公共弦为三圆共有，则所求圆心也必在y+2x=-3直线上，因此所求圆圆心为y+2x=-3和y+x=0交点，求得该圆圆心为(-3,3)
设所求圆为x^2+y^2+6x-6y+C=0，三圆共弦，可得：
x^2+y^2+6x-6y+C-(x^2+y^2+2x+2y-8)=k[x^2+y^2+6x-6y+C-(x^2+y^2-2x+10y-24)]，即
4x-8y+C+8=k(8x-16y+C+24)
当k=0.5时，可消去上式中x和y，求得C=8，
因此所求圆为x^2+y^2+6x-6y+8=0

希望能帮到你！不明白请追问！望采纳！

Answer 2

用圆系求解
令所求圆方程为(x^2+y^2-2x+10y-24)+m(x^2+y^2+2x+2y-8)=0（m≠-1）
整理得x^2+y^2+2(m-1)/(m+1)x+2(m+5)/(m+1)y-8(m+3)/(m+1)=0
易知其圆心为[(m-1)/(m+1)，(m+5)/(m+1)]
因圆心在直线x+y=0上
则(m-1)/(m+1)+(m+5)/(m+1)=0
解得m=-2
所以所求圆方程为(x^2+y^2-2x+10y-24)-2(x^2+y^2+2x+2y-8)=0
即x^2+y^2+6x-6y+8=0

Answer 3

设圆心为O(k,-k)
先求 圆x²+y²-2x+10y-24=0 与 圆x²+y²+2x+2y-8=0 的交点
(x-1)²+(y+5)²=50 (x+1)²+(y+1)²=10
圆心分别为A(1, -5) , B(-1, -1)
交点坐标为: (0, 2) 和 (-4, 0)
圆心在直线x+y=0上,且过两圆x^2+y^2-2x+10y-24=0,x^2+y^2+2x+2y-8=0交点的圆,
其圆心应在直线AB与直线x+y=0的交点, 即

Answer 4

x²+y²－2x+10y-24＝0……①
x²+y²+2x+2y-8＝0……②
①-②得：x-2y+4=0
x=2y-4……③
③代入①得：y=0或2
x=-4或0
x+y＝0④
③-④得：x=-4/3 y=4/3
(x+4/3)²+(y-4/3)²=r²
将x=-4 y=0代入得:r²=80/9
∴(x+4/3)²+(y-4/3)²=80/9

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