Question

已知圆C:x(x-2)^2+(y-3)^2=4,直线l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8证明无论m为何值,直线与圆恒相交

已知圆C:x(x-2)^2+(y-3)^2=4,直线l:(m+2)x+(2m+1)y=7m+8证明无论m为何值,（1）直线与圆恒相交（2）当直线被圆截得的弦最短时，求m的值

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Answer 1

（1）圆心C坐标(2,3)，半径r=2；
直线与圆心距离平方d²=|(m+2)*2+(2m+1)*3-7m-8|²/[(m+2)²+(2m+1)²]＝(m-1)²/√(5m²+8m+5)
＝1/[5+18m/(m-1)²]；
当k=18m/(m-1)²取极小值时，d²得到极大值：令dk/dm=0即(m-1)(m+1)=0，得驻点x=1和x=-1；
当m=1时k=18m/(m-1)²呈无穷大，d²得到最小值0；
当m=-1时k=18*(-1)/(-1-1)²=-9/2是极小值，得到最大d²=1/(5-9/2)=2；
因为，直线与圆心的距离d最大不超过√2（<r=2），所以两者总有交点；
（2）当直线与圆心距离最大时，被圆所截弦长最短，由（1）知，当m=-1时圆心距最小；

Answer 2

（1）直线过定点（3，2），代入园内小于0，故点在园内，所以相交。
（2）垂径定理，以（3，2）为弦中点，所以m=—1