已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（1，0），短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+b
已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（1，0），短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+b与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证直线l与以原点...
已知椭圆C的中心为坐标原点O，右焦点为F（1，0），短轴长为2．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l：y=kx+b与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该定圆的方程．
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（1）解：根据题意，c=1，2b=2，b=1，
a2=b2+c2=2，
∴椭圆方程：
+y2＝1；
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线y=kx+b代入椭圆方程得：
（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0．
x1+x2＝
，x1x2＝
．
∵OA⊥OB，
x1x2+y1y2=0．
∵y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2＝0．
(k2+1)?
+kb?
+b2＝0．
整理得，b2＝
(1+k2)．
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=
=
，
由此得出直线与原点为圆心的圆相切，半径为定长：
．
圆的方程为x2+y2＝
a2=b2+c2=2，
∴椭圆方程：
| x2 |
| 2 |
（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），
直线y=kx+b代入椭圆方程得：
（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0．
x1+x2＝
| ?4kb |
| 1+2k2 |
| 2b2?2 |
| 1+2k2 |
∵OA⊥OB，
x1x2+y1y2=0．
∵y1=kx1+b，y2=kx2+b，
∴(k2+1)x1x2+kb(x1+x2)+b2＝0．
(k2+1)?
| 2b2?2 |
| 1+2k2 |
| ?4kb |
| 1+2k2 |
整理得，b2＝
| 2 |
| 3 |
而原点到直线AB的距离d即圆的半径r=
| |b| | ||
|
2
| ||
| 3 |
由此得出直线与原点为圆心的圆相切，半径为定长：
2
| ||
| 3 |
圆的方程为x2+y2＝
