Question

设实数a、b、c、d满足ab=c^2+d^2=1，则(a-c)^2+(b-d)^2的最小值

Answer 1

c=sint d=cost
b=1/a
a-c=a-sint b-d=1/a-cost
(a-c)^2+(b-d)^2
=a^2-2asint+sin^2 t +1/a^2-2/a cost+cos^2 t
=1+a^2+1/a^2-2(asint+1/a cost)
=1+a^2+1/a^2-2/a(a^2sint+cost)
=1+a^2+1/a^2-2/a *根号(a^4+1) sin(t+k) (k的值就不说明了）
1,当a>0 ,sin(t+k)=1时 有最小值
最小值=1+a^2+1/a^2-2/a *根号(a^4+1)
=1+a^2+1/a^2-2根号(a^2+1/a^2)
令m=a^2+1/a^2 m>=2

上式=1+m-2根号m
=(根号m)^2-2根号m+1
=（根号m -1）^2
最小值为(根号2-1)^2
2,a<0 ,sin(t+k)=-1时 可以与1一样的求。最小值还是(根号2-1)^2

Answer 2

所求式子先展开，带入已知条件，再用均值不等式求a^2 b^2和cd的最值，即可。注意cd前有负号，cd的最值不可直接带入，要先算-cd的最值。如果发现有空格那是加号1 1=2

Answer 3

用几何法更好：看作在曲线xy=1和圆x^2+y^2=1上各取一点，使两点间的距离的平方最小，当在曲线xy=1上取（1，1）到圆心（0，0）的距离为根号2，再减1，再平方就解决了。